Question

【題目】，，…，是一個數列，對每個，，.如果，兩數不同，寫；如果，兩數相同，寫.于是得到一個新數列，，…，，其中.重復上述方法，得到一個由0及1兩個數字組成的三角形數表，最后一行僅一個數字，求這張數字表中1的和的最大值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用表示所求數目的最大值，當時，；對于，；對于，；因為，，一共有6種可能的排列；0，0，0；1，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；0，1，0；在第2，3，4種情況時，，其余情況皆小于4.

現在尋找與的關系，考慮行情況，前三行為

…

…

…

下面證明，在前三行中，有不少于個零，如果三數中至少有一個零，將這三數作為一組，捆在一起，放入一個盒內，如果某全為1，那么，，，及兩組，捆在一起，至少有兩個零，也放入這個盒內，那么從第一組開始，依次進行上述操作，最后，有兩種可能：第一種可能已放入盒內，這時盒內至少有個零，最后三數至少有一個零；第二種可能由于全為1，沒放入盒內，這時盒內至少有個零，但，，兩組與中至少有兩個零，因此，前三行至少有個零，換句話講，前三行至多個1，那么有. ①

當時，從上式，有

，

，

，

……

.

上述不等式相加，有. ②

當，從①出發，類似可證. ③

當，有. ④

②、③和④可以合并為一個不等式. ⑤

能達到，看下圖.

1 1 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 1 1

1 1 0

0 1

1

每三行作為一段，在一段內，第一行是1，1，0三數不斷周期出現，第一行數的個數恰為3的倍數.第二行是0，1，1三數不斷周期出現，最后二個數字是0，1，第三行是1，0，1三數不斷周期出現，最后一個數字是1，換句話講，倒過來數，每行1的數目分別為1，1，2，3，3，4，5，5，6，…，那么，

， ⑥

， ⑦

， ⑧

這里是正整數.當時，⑦、⑧也是正確的.

由⑥、⑦和⑧可以合并為一個不等式.

因此，.