Question

【題目】已知實數，設函數

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）對任意均有 求的取值范圍.

注：為自然對數的底數.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間是,單調遞減區間是；（2）.

【解析】

(1)首先求得導函數的解析式，然后結合函數的解析式確定函數的單調區間即可.

(2)由題意首先由函數在特殊點的函數值得到a的取值范圍，然后證明所得的范圍滿足題意即可.

(1)當時，，函數的定義域為，且：

，

因此函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是.

(2)構造函數，

注意到：，

注意到時恒成立，滿足；

當時，，不合題意，

且，解得：，故.

下面證明剛好是滿足題意的實數a的取值范圍.

分類討論：

(a)當時，，

令，則：

，

易知，則函數單調遞減，，滿足題意.

(b)當時，等價于，

左側是關于a的開口向下的二次函數,

其判別式，

令，注意到當時,，

于是在上單調遞增,而，

于是當時命題成立,

而當時,此時的對稱軸為隨著遞增,

于是對稱軸在的右側,而成立，(不等式等價于).

因此.

綜上可得：實數a的取值范圍是.