Question

【題目】在平面直角坐標系 中，橢圓 的中心為坐標原點，左焦點為F1（﹣1，0），離心率．

（1）求橢圓G 的標準方程；

（2）已知直線 與橢圓 交于 兩點，直線 與橢圓 交于 兩點，且 ，如圖所示．

①證明： ；

②求四邊形 的面積 的最大值．

Answer 1

【答案】（1） （2）①見解析②

【解析】試題分析：

(1)由題意結合橢圓的性質可求得，則，橢圓方程為;

(2)設出點的坐標：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

①聯立直線方程與橢圓的方程，結合弦長公式求得弦長，結合|AB|=|CD|得到關于實數m的等式，整理所得的等式可得m1+m2=0；

②由題意求得面積函數，結合均值不等式的結論可知當2k2+1=2m12時，四邊形ABCD 的面積S 的最大值為.

試題解析：

（1）設橢圓G的方程為（a＞b＞0）

∵左焦點為F1（﹣1，0），離心率e=．∴c=1，a=，

b2=a2﹣c2=1

橢圓G 的標準方程為：．

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

①證明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0

，

x1+x2=，x1x2=；

|AB|==2；

同理|CD|=2，

由|AB|=|CD|得2=2，

∵m1≠m2，∴m1+m2=0

②四邊形ABCD 是平行四邊形，設AB，CD間的距離d=

∵m1+m2=0，∴

∴s=|AB|×d=2×

=.

所以當2k2+1=2m12時，四邊形ABCD 的面積S 的最大值為2