Question

【題目】已知函數f（x）= 的圖象過點A（0， ），B（3，3）
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（2，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明；
（3）若m，n∈（2，+∞）且函數f（x）在[m，n]上的值域為[1，3]，求m+n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= 的圖象過點A（0， ），B（3，3），

∴ ，解得：

∴f（x）=

（2）解：函數f（x）在（2，+∞）上單調遞減，

證明：任取x2＞x1＞2，

則f（x1）﹣f（x2）=

∵x2＞x1＞2，

∴x2﹣x1＞0，x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，

∴ ＞0，得f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

函數f（x）在（2，+∞）上是單調遞減函數

（3）解：∵m，n∈（2，+∞），

∴函數f（x）在[m，n]上單調遞減，

∴f（m）=3，f（n）=1

∴ =3， =1，

∴m=3，n=5，

∴m+n=8

【解析】（1）將A、B的坐標代入函數的解析式，求出a，b的值即可；（2）根據函數單調性的定義證明即可；（3）根據函數的單調性得到關于m、n的方程，求出m、n的值，從而求出m+n的值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．