【題目】已知函數
， 
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若函數
在區間
有唯一零點
，證明： 
.
【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得
， 分
， 
， 
，三種情況討論可得單調區間.
（Ⅱ）由（1）及
可知：僅當極大值等于零，即
且 
所以
，且
，消去
得
，構造函數，證明單調且零點存在且唯一即可.
試題解析：（Ⅰ） 
， 
，
令
， 
，
若
，即
，則
，
當
時， 
， 
單調遞增，
若
，即
，則
，僅當
時，等號成立，
當
時， 
， 
單調遞增.
若
，即
，則
有兩個零點
， 
，
由
， 
得
，
當
時， 
， 
， 
單調遞增；
當
時， 
， 
， 
單調遞減；
當
時， 
， 
， 
單調遞增.
綜上所述，
當
時， 
在
上單調遞增；
當
時， 
在
和
上單調遞增，
在
上單調遞減.
（Ⅱ）由（1）及
可知：僅當極大值等于零，即
時，符合要求.
此時， 
就是函數
在區間
的唯一零點
.
所以
，從而有
，
又因為
，所以
，
令
，則
，
設
，則
，
再由（1）知： 
， 
， 
單調遞減，
又因為
， 
，
所以
，即
點晴：本題考查函數導數與單調性.確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可結合導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數最值處理．也可構造新函數然后利用導數來求解.注意利用數形結合的數學思想方法.
口算題卡北京婦女兒童出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），則f（x）是（ ）
A.奇函數，且在（0，1）上是增函數
B.奇函數，且在（0，1）上是減函數
C.偶函數，且在（0，1）上是增函數
D.偶函數，且在（0，1）上是減函數
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中， 
是拋物線
的焦點， 
是拋物線
上的任意一點，當
位于第一象限內時， 
外接圓的圓心到拋物線
準線的距離為
.
（1）求拋物線
的方程；
（2）過
的直線
交拋物線
于
兩點，且
，點
為
軸上一點，且
，求點
的橫坐標
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點F（0，1），直線l：y=﹣1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且 
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設|DA|=l1 ， |DB|=l2 ， 求 
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx﹣1，若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）函數g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）（m∈R）恰有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2），求函數g（x）的單調區間及實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）= 
的圖象過點A（0， 
），B（3，3）
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（2，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明；
（3）若m，n∈（2，+∞）且函數f（x）在[m，n]上的值域為[1，3]，求m+n的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】商品在近30天內每件的銷售價格P（元）與時間t（天）的函數關系p= 
該商品的日銷售量Q（件）時間t（天）的函數關系Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N*）
求該商品的日銷售額的最大值，并指出日銷售額最大一天是30天中的第幾天？
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