Question

【題目】已知函數f（x）=alnx，g（x）=x2 ． 其中x∈R．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線相互平行，求兩平行直線間的距離；
（2）若f（x）≤g（x）﹣1對任意x＞0恒成立，求實數a的值；
（3）當a＜0時，對于函數h（x）=f（x）﹣g（x）+1，記在h（x）圖象上任取兩點A、B連線的斜率為kAB ， 若|kAB|≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，依題意得：a=2；

∴曲線y=f（x）在x=1處的切線為2x﹣y﹣2=0，曲線y=g（x）在x=1處的切線方程為2x﹣y﹣1=0．

∴兩直線間的距離為 =

（2）解：令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，則

當a≤0時，注意到x＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）單調遞減，

又h（1）=0，故0＜x＜1時，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）﹣1，與題設矛盾

當a＞0時，

當 ，h′（x）＞0，當 時，h′（x）＜0

∴h（x）在（0， ）上是增函數，在（ ，+∞）上是減函數，

∴h（x）≤

∵h（1）=0，又當a≠2時， 與 不符．

∴a=2．

（3）解：當a＜0時，由（2）知h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是減函數，

不妨設0＜x1≤x2，則|h（x1）﹣h（x2）|=h（x1）﹣h（x2），|x1﹣x2|=x2﹣x1，

∴|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等價于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1，即h（x1）+x1≥h（x2）+x2，

令H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是減函數，

∵ （x＞0），

∴﹣2x2+x+a≤0在x＞0時恒成立，

∴a≤（2x2﹣x）min

又x＞0時，（2x2﹣x）min=﹣

∴a≤﹣ ，

又a＜0，∴a的取值范圍是

【解析】（1）求導函數，可得切線方程，利用平行線間的距離公式，可求兩平行直線間的距離；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）+1，確定其單調性，分類討論，即可求實數a的值；（Ⅲ）|h（x1）﹣h（x2）|≥|x1﹣x2|等價于h（x1）﹣h（x2）≥x2﹣x1 ， 即h（x1）+x1≥h（x2）+x2 ， 構造H（x）=h（x）+x=alnx﹣x2+x+1，H（x）在（0，+∞）上是減函數，可得﹣2x2+x+a≤0在x＞0時恒成立，分離參數，即可求a的取值范圍．．