Question

【題目】已知函數

(Ⅰ)若有唯一解,求實數的值；

（Ⅱ）證明：當時，

（附： ）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ）使有唯一解,只需滿足,且的解唯一，求導研究函數，注意分類討論利用極值求函數最大值；（Ⅱ）只需證即證，構造函數，利用單調性，極值求其最小值，證明其大于零即可．

試題解析：(Ⅰ)函數的定義域為

要使有唯一解,只需滿足,且的解唯一,

,

①當時, ,故在上單調遞增,且,

所以的解集為,不符合題意；

②當，且時， 單調遞增；當時， 單調遞減，所以有唯一的一個最大值為,

令，則,

當時， ,故單調遞減；當時，故單調遞增，

所以，故令,解得，

此時有唯一的一個最大值為，且，故的解集是，符合題意；

綜上，可得

（Ⅱ）要證當時，

即證當時， ,

即證

由（Ⅰ）得，當時， ,即，又，從而,

故只需證，當時成立；

令，則,

令，則，令，得

因為單調遞增，所以當時， 單調遞減，即單調遞減，當時， 單調遞增，即單調遞增，

且,

由零點存在定理，可知，使得，

故當或時， 單調遞增；當時， 單調遞減，所以的最小值是或

由，得，

,

因為，所以,

故當時，所以,原不等式成立．