Question

【題目】已知定義在R的函數f（x）= 是奇函數，其中a，b為實數
（1）求a，b的值
（2）用定義證明f（x）在R上是減函數
（3）若對于任意的t∈[﹣3，3]，不等式f（t2﹣2t）+f（﹣2t2+k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 是R上的奇函數，

∴f（0）= =0，∴b=1．

又f（1）+f（﹣1）= + =0，解得：a=1，

∴a=b=1

（2）解：由（1）知，f（x）= =﹣1+ ，

令x1＜x2，則 ＜ ，

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

∴f（x）在R上是減函數

（3）解：∵對于任意的t∈[﹣3，3]，f（t2﹣2t）+f（﹣2t2+k）＜0恒成立，f（x）= 為奇函數，

∴f（t2﹣2t＜﹣f（﹣2t2+k）=f（2t2﹣k），

又f（x）在R上是減函數．

∴t2﹣2t＞2t2﹣k恒成立，t∈[﹣3，3]．

∴k＞（t2﹣2t）max，又y=t2﹣2t的對稱軸方程為t=1，∴t=﹣3時，函數取得最大值，即ymax=15，

∴k＞15，即k的取值范圍為：（15，+∞）

【解析】（1）依題意，由f（0）=0可求得b，再由f（1）+f（﹣1）=0可求得a的值；（2）令x1＜x2 ， 作差f（x1）﹣f（x2）= 判定符號即可證明f（x）在R上是減函數；（3）對于任意的t∈[﹣3，3]，不等式f（t2﹣2t）+f（﹣2t2+k）＜0恒成立，利用R上的奇函數f（x）單調遞減的性質性可得t2﹣2t＞2t2﹣k恒成立，t∈[﹣3，3]，整理得k＞（t2﹣2t）max ， t∈[﹣3，3]，從而可求k的取值范圍．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．