Question

【題目】為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位： ）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布．

（1）假設生產狀態正常，記表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數，求及的數學期望；

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

（ⅰ）試說明上述監控生產過程方法的合理性；

（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

經計算得，其中為

抽取的第個零件的尺寸， ．

用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計和（精確到0.01）．

附：若隨機變量服從正態分布，則， ．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）（i）見解析，(ii) ,.

【解析】試題分析：（1）根據題設條件知一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，則零件的尺寸在之外的概率為0.0026，而，進而可以求出的數學期望.（2）（i）判斷監控生產過程的方法的合理性，重點是考慮一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）根據題設條件算出的估計值和的估計值，剔除之外的數據9.22，算出剩下數據的平均數，即為的估計值，剔除之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差，即為的估計值.

試題解析：（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此

.

的數學期望為.

（2）（i）如果生產狀態正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發生的概率很小.因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程學科&網可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的.

（ii）由，得的估計值為， 的估計值為，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產過程進行檢查.

剔除之外的數據9.22，剩下數據的平均數為，因此的估計值為10.02.

，剔除之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差為，

因此的估計值為.

點睛:數學期望是離散型隨機變量中重要的數學概念，反映隨機變量取值的平均水平.求解離散型隨機變量的分布列、數學期望時，首先要分清事件的構成與性質，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應的分布列，最后求出數學期望.正態分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態分布的原則.