Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點(diǎn)， ，且.

（1）求點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）若以， 為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)

（ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，設(shè)，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（2）（ⅰ）（ⅱ）

【解析】試題分析：（1）由對(duì)稱性寫(xiě)出坐標(biāo)，同時(shí)由對(duì)稱性可設(shè)， ，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可解得T點(diǎn)坐標(biāo)。（2）由（1）得，待定系數(shù)及點(diǎn)在橢圓上可求得橢圓方程。由，得，且，結(jié)合韋達(dá)可求得，把通過(guò)坐標(biāo)表示寫(xiě)成關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，即可求得范圍。

試題解析：（1）由題意，得， ，

設(shè)， ，則， ，

由

得，即，①

又在拋物線上，則，②

聯(lián)立①②易得，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（2）（ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，得

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），

則，③

，④

將④代入③，解得或（舍去）

所以

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（ⅱ）由題意分析知直線的斜率不為，

設(shè)直線的方程為

將直線的方程代入中，得

設(shè)， ， ，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得，⑤

⑥

因?yàn)?/span>，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，

得

由 ，所以

因?yàn)?/span>，

所以.

又，所以

故

令，因?yàn)?/span>

所以，即，

所以

而，所以

所以