Question

【題目】如圖，四邊形為正方形， 平面， ， .試結(jié)合向量法：（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：首先根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系；（1）根據(jù)坐標(biāo)系，求出、、的坐標(biāo)，由向量積的運(yùn)算易得， ，進(jìn)而可得， ，由面面垂直的判定，即可證明；（2）依題意結(jié)合坐標(biāo)系，可得、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面與平面的法向量，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，即可得答案.

試題解析：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）證明：依題意有， ， ，則， ， .

∴， ，即， .

∴平面

又∵平面，

∴平面平面

（2）依題意有， ，

設(shè)是平面的法向量，則

，即

∴可取

設(shè)是平面的法向量，則

可取

∴，則二面角的余弦值為