Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求b的值；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性并加以證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解∵函數為定義在R上的奇函數，

∴f（0）=0，

∴ =0

解得b=1

（2）解由（1）知f（x）= = = + ，

設x1，x2∈R，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= + + ﹣ = ＞0，

∴函數f（x）為減函數

（3）解∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k）恒成立，

∵函數f（x）在R上為減函數．

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，

∴k＜3t2﹣2t=3（t﹣ ）2﹣ ，

∴k＜﹣ ，

故k的取值范圍為（﹣∞， ）

【解析】（1）根據奇函數的性質推斷出f（0）=0求得b的值．（2）先分離常數，再利用單調性的定義證明即可．（3）根據奇函數的性質和函數的單調性，得到t2﹣2t＞﹣2t2+k，再分離參數k，求出函數3t2﹣2t的最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．