Question

【題目】如下圖，在四棱柱中，點分別為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若四棱柱是長方體，且，求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點為，連結,要證線面平行，即證明平面外的線與平面內的線平行，所以證明是平行四邊形，即證明；（2）以點為原點， 分別為 軸建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，求法向量夾角的余弦值，再求正弦值.

試題解析：（1）設的中點為，連接、.

∵為的中點，∴，且.

又∵為四棱柱的棱的中點，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形.∴.

又∵平面， 平面，∴平面.

（2）根據四棱柱是長方體，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，由已知得.

，設平面的一個法向量為，

則.

∴取，解得

∴是平面的一個法向量.

由已知容易得到是平面的一個法向量.

設平面與平面所成二面角的大小為，則.

∵，∴.

∴平面與平面所成二面角的正弦值為.