Question

已知F（-1，0）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，過F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點P（0，-3）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點C是線段AB上的點，且

1

|PC|2

是

1

|PA|2

，

1

|PB|2

的等差中項，求點C的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

2b2

a

=3，c=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當直線l與x軸垂直時，C（0，

3

-3）；當直線l與x軸不垂直時，設直線的方程為y=kx-3．與橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1聯立并消元整理得：（4k²+3）x²-24kx+24=0，由此利用根的判別式、韋達定理、等差中項等結合已知條件能求出C點的軌跡方程．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）當l過橢圓的焦點且與x軸垂直時，
截得的弦為橢圓的通徑，∴

2b2

a

=3
又∵c=1，∴b²=3，a²=4，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）當直線l與x軸垂直時，直線l即為y軸，此時A（0，-

3

）、B（0，

3

）
|PA|=3-

3

，|PB|=3+

3

，
由題意：

2

|PC|2

=

1

|PA|2

+

1

|PB|2

，解得：|PC|=

3

∴C（0，

3

-3）
當直線l與x軸不垂直時，設直線的方程為y=kx-3．
與橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1聯立并消元整理得：（4k²+3）x²-24kx+24=0 …①
△=（24k）²-4（4k²+3）×24=96（2k²-3）＞0，∴k²＞

3

2

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程①的兩個解，由韋達定理得：
x₁+x₂=

24k

4k2+3

，x₁x₂=

24

4k2+3

|PA|²=x₁²+（y₁+3）²=x₁²+（kx₁-3+3）²=（1+k²）x₁²
|PB|²=x₂²+（y₂+3）²=x₂²+（kx₂-3+3）²=（1+k²）x₂²
|PC|²=x²+（y+3）²=x²+（kx-3+3）²=（1+k²）x²
由題意：

2

|PC|2

=

1

|PA|2

+

1

|PB|2

∴

2

(1+k2)x2

=

1

(1+k2)x12

+

1

(1+k2)x22

即

2

x2

=

1

x12

+

1

x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

x12x22

=

(24k)2-2×24(4k2+3)

242

=

8k2-3

12

，
∴x²=

24

8k2-3

又∵點C在直線上，∴y=kx-3，k=

y+3

x

，
代入上式并化簡得：8（y+3）²-3x²=24，
即

(y+3)2

3

-

x2

8

=1，
∵k²＞

3

2

∴0＜x²＜

8

3

，即x∈（-

2 6

3

，0）∪（0，

2 6

3

），
又C（0，

3

-3）滿足

(y+3)2

3

-

x2

8

=1，故x∈（-

2 6

3

，

2 6

3

）．
由題意，C（x，y）在橢圓C內部，所以-

3

≤y≤

3

，
又由8（y+3）²=24+3x²有（y+3）²∈（3，4），
且-

3

≤y≤

3

，∴y∈（

3

-3，-1）
∴點C的軌跡方程是

(y+3)2

3

-

x2

8

=1，
其中，x∈（-

2 6

3

，

2 6

3

），y∈（

3

-3，-1）…（12分）
（如考生未考慮l與x軸垂直，扣（1分）；求軌跡方程后沒有求得x，y取值范圍的扣1分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的軌跡的求法，解題時要認真審題，注意等差中項的合理運用．