Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，E是PB的中點，AB=2AD=2CD=2，PC=

2

．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱錐C-ABE高的大小．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直得AC⊥PC，由勾股定理得AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由△PBC為等腰直角三角形，AC為三棱錐A-BCE的高．利用等積法能求出三棱錐C-ABE的高．

解答： （Ⅰ）證明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：由PC=

2

，知△PBC為等腰直角三角形，
則S△BCE=

1

2

S△PBC=

1

2

，
由（Ⅰ）知AC為三棱錐A-BCE的高．
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ABC，PA=PB=AB=2，
則S△ABE=

1

2

S△PAB=

3

2

，
設三棱錐C-ABE的高為h，
則

1

3

S△ABE•h=

1

3

S△BCE•AC⇒

1

3

•

3

2

•h=

1

3

•

1

2

•

2

⇒h=

6

3

故三棱錐C-ABE的高等于

6

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的高的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．