Question

給定兩個命題p：對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：關于x的方程x²-x+a=0有負實數根；如果p或q為真命題，p且q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：對于命題p：分類討論：當a=0，直接驗證；當a≠0時，對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立，必需

a＞0 △=a2-4a＜0

，即可解得．對于命題q：關于x的方程x²-x+a=0有負實數根，必需a＜0．由于p或q為真命題，p且q為假命題，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：對于命題p：當a=0，不等式ax²+ax+1＞0變為1＞0，對任意實數x恒成立；
當a≠0時，對任意實數x都有ax²+ax+1＞0恒成立，必需

a＞0 △=a2-4a＜0

，
解得0＜a＜4；
對于命題q：關于x的方程x²-x+a=0有負實數根，必需a＜0，
∴當a＜0時，命題Q為真命題．
∵p或q為真命題，p且q為假命題，
∴p與q必然一真一假．
若P真Q假，則

0≤a＜4 a≥0

，解得0≤a＜4
若P徦Q真，則

a≥4或a＜0 a＜0

，解得a＜0
∴實數a的取值范圍是a＜4．

點評：本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關系、一元二次方程的實數根與判別式的關系、復合命題真假判斷方法，考查了推理能力，屬于基礎題．