Question

已知函數f（x）=（2^x-k•2^-x）log₂|x|+

1

2x

，f（2）=4．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若F（x）=f（x）+2且F（m）=10（m≠0），求F（-m）．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（I）由函數f（x）的解析式以及f（2）=4，求得k的值．
（II）由（I）可得函數的解析式，再根據函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（Ⅲ）由F（m）=f（m）+2=10，求得f（m）=8，根據函數f（x）為奇函數，求得f（-m），可得F（-m）=f（-m）+2的值．

解答： 解：（I）∵函數f（x）=（2^x-k•2^-x）log₂|x|+

1

2x

，f（2）=4，∴f(2)=(4-

k

4

)+

1

4

=4，解得k=1．
（II）由（I）可知，f(x)=(2x-2-x)log2|x|+

1

2x

，
函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，
又f(-x)=(2-x-2x)log2|-x|+

1

2(-x)

=-(2x-2-x)log2|x|-

1

2x

=-f（x），
所以，函數f（x）為奇函數．
（Ⅲ）因為F（x）=f（x）+2，所以F（m）=f（m）+2=10，即f（m）=8．
又因為函數f（x）為奇函數，所以f（-m）=-f（m）=-8，
所以F（-m）=f（-m）+2=-8+2=-6．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，屬于基礎題．