Question

如圖，已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x-3y-7=0，點(diǎn)M（3，0）滿足

BM

=

MC

，點(diǎn)T（0，1）在邊AC所在直線上，且滿足

AT

•

AB

=0
（Ⅰ）求AC所在直線的方程；
（Ⅱ）求

AM

•

BC

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：直線與圓

分析：（I）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得A，再利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得AC的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出．
（II）聯(lián)立

y=-3x+1 x-3y-7=0

，解得A（1，-2）．設(shè)B（3y+7，y），C（x，-3x+1），由于點(diǎn)M（3，0）滿足

BM

=

MC

，可得點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得B，C，再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答： 解：（I）點(diǎn)T（0，1）在邊AC所在直線上，且滿足

AT

•

AB

=0，∴

AC

⊥

AB

，∴A=90°．
∴k_AC=-

1

kAB

=-

1

1 3

=-3．
∴直線AC的方程為：y=-3x+1．
（2）聯(lián)立

y=-3x+1 x-3y-7=0

，解得

x=1 y=-2

，∴A（1，-2）．
設(shè)B（3y+7，y），C（x，-3x+1），
∵點(diǎn)M（3，0）滿足

BM

=

MC

，
∴點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)．
∴

3= 3y+7+x 2 0= y-3x+1 2

，解得

x= 1 5 y=- 2 5

，
∴B(

29

5

，-

2

5

)，C(

1

5

，

2

5

)．
∴

AM

•

BC

=（2，2）•(-

28

5

，

4

5

)=-

48

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．