Question

【題目】如果函數的定義域為R,且存在實常數,使得對于定義域內任意,都有成立,則稱此函數為“完美函數”.

(1)判斷函數是否為“完美函數”.若它是“完美函數”,求出所有的的取值的集合；若它不是,請說明理由.

(2)已知函數是“完美函數”,且是偶函數.且當0時，.求的值.

Answer 1

【答案】(1) 函數是“完美函數”, 的取值集合為：；(2)0.

【解析】

(1) 假設函數是“完美函數”,根據“完美函數”的定義,可以得到等式,判斷等式是否恒成立即可；

(2)根據函數是“完美函數”,可以判斷出函數的奇偶性,通過是偶函數,可以判斷出函數的對稱性,這樣可以求出函數的周期,求出代數式的值.

(1) 假設函數是“完美函數”,于是有：

(舍去),

所以函數是“完美函數”, 的取值集合為：；

(2) 因為函數是“完美函數”,所以,所以是奇函數,

是偶函數,因此函數關于縱軸對稱,而函數的圖象向右平移一個單位長度得到的圖象,因此的圖象關于直線對稱,即有

.

因此有,所以函數是4為周期的函數.

,

所以