Question

【題目】定義在D上的函數f（x），如果滿足對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界，已知函數f（x）=1+x+ax2

（1）當a=﹣1時，求函數f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判斷函數f（x）在（﹣∞，0）上是否為有界函數，并說明理由；

（2）若函數f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）[﹣，﹣]．

【解析】

試題（1）當a=﹣1時，函數表達式為f（x）=1+x﹣x2，可得f（x）在（﹣∞，0）上是單調增函數，它的值域為（﹣∞，1），從而|f（x）|的取值范圍是[0，+∞），因此不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函數．

（2）函數f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數，即﹣3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函數表達式并化簡整理，得﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，接下來利用換元法結合二次函數在閉區間上最值的求法，得到（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣，所以，實數a的取值范圍是[﹣，﹣]．

解：（1）當a=﹣1時，函數f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣）2+

∴f（x）在（﹣∞，0）上是單調增函數，f（x）＜f（0）=1

∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域為（﹣∞，1）

因此|f（x）|的取值范圍是[0，+∞）

∴不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函數．

（2）若函數f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數，

則|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3

∴﹣3≤ax2+x+1≤3

∴≤a≤，即﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，

∴（﹣﹣）max≤a≤（﹣）min，

令t=，則t∈[，1]

設g（t）=﹣4t2﹣t=﹣4（t+）2+，則當t=時，g（t）的最大值為﹣

再設h（t）=2t2﹣t=2（t﹣）2﹣，則當t=時，h（t）的最小值為﹣

∴（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣

所以，實數a的取值范圍是[﹣，﹣]．