Question

【題目】已知函數 （，為自然對數的底數，）.

（1）若函數僅有一個極值點，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，有兩個零點（）.且滿足.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由函數的解析式可得，則滿足題意時,方程必無解，分類討論：①當時，符合題意；②當時，，據此可得.即實數的取值范圍是.

（2）由（1）的結論可得，知當時，為的唯一極小值點，且，，則，故.要證明，即證.，可轉化為，即，據此構造函數，結合函數的性質可知在區間上是減函數，，等價于成立，則原命題得證.

試題解析：

（1）

，

由，得或

因為僅有一個極值點，

所以關于的方程必無解，

①當時，無解，符合題意；

②當時，由，得，

故由，得.

故當時，若，

則，此時為減函數，

若，則，此時為增函數，

所以為的唯一極值點，

綜上，可得實數的取值范圍是.

（2）由（1），知當時，為的唯一極值點，且是極小值點，

又因為當時，，

，，

所以當時，有一個零點，

當時，有另一個零點，

即，

且，

.①

所以.

下面再證明，即證.

由，得，

因為當時，為減函數，

故只需證明，

也就是證明，

因為，

由①式，

可得.

令，

則.

令，

因為為區間上的減函數，且，所以，即

在區間上恒成立，

所以在區間上是減函數，即，所以，

即證明成立，

綜上所述，.