Question

【題目】某企業生產一種產品，根據經驗，其次品率與日產量 （萬件）之間滿足關系, （其中為常數，且，已知每生產1萬件合格的產品以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元（注:次品率=次品數/生產量， 如表示每生產10件產品，有1件次品，其余為合格品）.

（1）試將生產這種產品每天的盈利額 （萬元）表示為日產量 （萬件）的函數；

（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤?

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）運用每天的贏利為P（x）＝日產量（x）×正品率（1﹣Q）×2﹣日產量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到P（x）與x的函數式；

（2）當a＜x≤11時，求得P（x）的最大值；當1≤x≤a時，設12﹣x＝t，利用基本不等式可得x＝9時，等號成立，故可分類討論得：當1＜a＜3時，當x＝11時，取得最大利潤； 3≤a＜9時，運用復合函數的單調性可得當x＝a時取得最大利潤；當9≤a≤11時，當日產量為9萬件時，取得最大利潤．

（1）當時，，

∴.

當時，，

∴.

綜上，日盈利額（萬元）與日產量x（萬件）的函數關系式為

，（其中a為常數，且）.

（2）當時，，其最大值為55萬元.

當時，，設，則，

此時，，

顯然，當且僅當，即時，有最大值，為13.5萬元.

令，得，

解得（舍去）或，

則（i）當時，日產量為11萬件時，可獲得最大利潤5.5萬元.

（ii）當時，時，

函數可看成是由函數與復合而成的.

因為，所以，故在上為減函數

又在上為減函數，所以在上為增函數

故當日產量為a萬件時，可獲得最大利潤萬元.

（iii）當時，日產量為9萬件時，可獲得最大利潤13.5萬元.