Question

【題目】已知函數.

（1）證明：當時，函數在上是單調函數；

（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】 (1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意得，再令，利用導數可得在取得最小值，且，于是，從而得到在上是單調遞增函數．（2）由題意分離參數可得當時，恒成立．令，利用導數可得到當時，取得最小值，且，從而可得，即為所求的范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

令，

則，

則當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

∴函數在取得最小值，且最小值為，

∴在上恒成立，

∴在上是單調遞增函數．

（2）由題意得當時，恒成立，

∴當時，恒成立．

令，

則，

令，

則.

∴時，單調遞增，

∴，即．

∴當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

∴當時，取得最小值，且，

∴．

故實數的取值范圍為.