Question

【題目】已知函數（且）.

（1）判斷函數的奇偶性并說明理由；

（2）當時，判斷函數在上的單調性，并利用單調性的定義證明；

（3）是否存在實數，使得當的定義域為時，值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）奇函數，理由見詳解；（2）單調遞減，過程見詳解；（3）存在.

【解析】

（1）先由函數解析式求出定義域，再由，求出，根據函數奇偶性的概念，即可得出結果；

（2）先令，用單調性的定義，即可判斷的單調性，再由復合函數單調性的判定原則，即可得出結果；

（3）先假設存在滿足條件的實數，由題意得出，，推出是方程的兩根，進而得到在上有兩個不同解，根據一元二次方程根的分布情況，列出不等式組，即可求出結果.

（1）由解得或，即函數的定義域為；

又，

所以，

因此，所以，

所以函數為奇函數；

（2）令，任取，

則，

因為，，，所以，

即函數在上單調遞增；

又，所以單調遞減，

根據同增異減的原則，可得：在上單調遞減；

（3）假設存在實數，使得當的定義域為時，值域為，由，可得；

所以，

因此是方程的兩根，

即在上有兩個不同解，

設，則，解得.

所以存在，使得當的定義域為時，值域為.