Question

已知f（x）=|

x

x2+1

+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a是參數(shù)，且a∈[0，

3

4

]，若把f（x）的最大值記作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（2）求函數(shù)M（a）解析式；
（3）求函數(shù)M（a）值域．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)t（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）令g（t）=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．對(duì)a分類討論即可得出；
（3）利用（2）的結(jié)論和一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，
∴t′=

-(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
令t′=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，t′＞0，此時(shí)函數(shù)t（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x≤1時(shí)，t′＜0，此時(shí)函數(shù)t（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)t（x）取得極大值，即最大值，t（1）=

1

2

．
又t（0）=0，t（24）＞0，∴t（x）的最小值為0．
∴t∈[0，

1

2

]．
（2）令g（t）=|t+

1

3

-a|+2a，t∈[0，

1

2

]．
當(dāng)a-

1

3

＜

1

4

時(shí)，即0≤a＜

7

12

，[g（t）]_max=g(

1

2

)=|

5

6

-a|+2a=a+

5

6

．
當(dāng)a-

1

3

≥

1

4

時(shí)，即

7

12

≤a≤

3

4

，[g（t）]_max=g（0）=|

1

3

-a|+2a=3a-

1

3

．
∴M(a)=

a+ 5 6 ，0≤a＜ 7 12 3a- 1 3 ， 7 12 ≤a≤ 3 4

．
（3）當(dāng)時(shí)a∈[0，

7

12

)，M(a)∈[

5

6

，

17

12

)；
當(dāng)a∈[

7

12

，

3

4

]時(shí)，M（a）∈(

17

12

，

23

12

]．
∴M（a）的值域?yàn)?span id="swykwma" class="MathJye">[

5

6

，

23

12

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)t（x）的單調(diào)性極值與最值的方法、一次函數(shù)的單調(diào)性、含絕對(duì)值的函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．