Question

正方形ABCD的邊長為1，AE=1，DE=

2

，CE=

3

．點P₁，P₂分別是線段AE、CE（不包括端點）上的動點，且線段P₁P₂∥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：P₁P₂⊥BD；
（Ⅱ）求四面體P₁P₂AB體積的最大值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接AC，DB．AC為平面AEC與平面ABCD的交線，由P₁P₂∥平面ABCD，推斷出P₁P₂∥AC又平面ABCD為正方形，可知AC⊥BD．進而推斷出P₁P₂⊥BD．
（2））根據CD，DE，CE的值，推斷出CD⊥DE．由CD⊥AD，推斷出CD⊥平面ADE，進而可知CD⊥AE，AB⊥AE，分別求得BE，CE，判斷出CB⊥BE．根據CB⊥BE，CB⊥AB，推斷uCB⊥平面ABE．過P₂做P₂O⊥BE與O點，連接OP₁由P₂O⊥BE，進而可知P₂O⊥平面ABE．連接OP₁，可知OP₁⊥AE，設AP₁=x，則OP₁=P₁B=1-x，表示出OP₂，進而表示出四面體P₁P₂AB的體積，根據二次函數的性質求得最大值．

解答： 證明（1）連接AC，DB．AC為平面AEC與平面ABCD的交線，
∵P₁P₂∥平面ABCD，
∴P₁P₂∥AC
又∵平面ABCD為正方形，
∴AC⊥BD．
∴P₁P₂⊥BD

（2）∵CD=1，DE=

2，

CE=

3

．
∴CD⊥DE．
∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥AE，AB⊥AE，
∵AB⊥AE∴BE=

2

，
∵BE=

2

，CE=

3

，
∴CB⊥BE．
∵CB⊥BE．
CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE．
過P₂做P₂O⊥BE與O點，連接OP₁
∵P₂O⊥BE，
∴P₂O⊥平面ABE．
連接OP₁，
∴OP₁⊥AE
設AP₁=x，則OP₁=P₁B=1-x，
△BCE中，

OP2

BC

=

OE

BE

=

1-x

1

∴OP2=1-xVP2P1AB1=

1

3

×

1

2

×AP1×AB×OP2=

1

6

x(1-x)當x=

1

2

時，最大值為

1

24

點評：本題主要考查線面平行，線面垂直的判定定理，棱錐的體積．考查了學生對立體幾何知識綜合運用．