Question

在△ABC中，內角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c，且

cosA

cosB

=

b

a

=

3

4

，若△ABC的面積是24，則c=

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：由題意得acosA=bcosB，結合正弦定理化簡得sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°．由于a、b不相等，得A≠B，因此A+B=90°，可得△ABC是直角三角形．根據△ABC的面積是24，和 

b

a

=

3

4

，算出b=6且a=8，即可得到c．

解答： 解：∵

cosA

cosB

=

b

a

，
∴acosA=bcosB，結合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B
∵A、B是三角形的內角
∴2A=2B或2A+2B=180°，可得A=B或A+B=90°
∵

b

a

=

3

4

，得a、b的長度不相等
∴A=B不成立，只有A+B=90°，可得C=180°-（A+B）=90°
因此，△ABC是直角三角形
設b=3x，a=4x，可得c=

a2+b2

=5x，
△ABC的面積是S=

1

2

a•b=24，∴x=2，
c=5x=5×2=10
故答案為：10．

點評：本題給出△ABC的邊角關系，判斷三角形的形狀，通過三角形的面積，求解三角形的邊長，著重考查了利用正弦定理解三角形、誘導公式和二倍角正弦的公式等知識，屬于中檔題．