Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

ax²-ax．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極值，求a的值，并求出此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）＞0對x∈[1，2]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將x=2代入導(dǎo)函數(shù)求出a的值，再將a=-

1

2

代入導(dǎo)函數(shù)求出x的值，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（2）由函數(shù)在[1，2]上遞增，得到f（1）最小，由f（1）＞0解得即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

1

x

+ax-a，
∴f′（2）=

1

2

+2a-a=0，
解得：a=-

1

2

，
∴f′（x）=

1

x

-

1

2

x+

1

2

=0，
解得：x=-1（舍），x=2，
∴f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減；
（2）由（1）得：f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）min=f（1）=

1

2

a-a＞0，
解得：a＜0，
∴a的范圍是：（-∞，0）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．