Question

如圖，一艘輪船在某海島附近的海上勻速直線航行，海島上一觀察哨A在上午11時(shí)測(cè)得輪船在海島北偏東60°的B處，12時(shí)20分測(cè)得輪船在海島北偏西60°的C處，12時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距離海島5海里的D港口．
（Ⅰ）求證：S_△ABC=4S_△ACD；
（Ⅱ）求輪船的速度（單位：海里/小時(shí)）．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意求出輪船在BC段用的時(shí)間與在CD段用的時(shí)間，根據(jù)速度相同得到時(shí)間之比即為路程之比，求出BC與CD比值，再根據(jù)三角形ABC與三角形ACD高相同，即可得證；
（Ⅱ）根據(jù)題意，可知BC=4CD，設(shè)CD=x海里，則BC=4x海里，在三角形BAD中，由正弦定理求得sinB，再在△ABC中，由正弦定理AC的長(zhǎng)，在△ACD中，由余弦定理，得CD的長(zhǎng)，從而得出船速即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意得：輪船在BC段用的時(shí)間為1時(shí)20分=80分；在CD段用的時(shí)間為20分，
∵輪船勻速行駛，BC段與CD段的時(shí)間之比為4：1，
∴BC：CD=4：1，
∵△ABC與△ACD高相同，
∴S_△ABC=4S_△ACD；
（Ⅱ）依題意，上午11時(shí)在某海島上一觀察點(diǎn)A測(cè)得一輪船在海島北偏東60°的B處，12時(shí)20分測(cè)得船在海島北偏西60°的C處，12時(shí)40分輪船到達(dá)了位于海島正西方且距海島5海里的E港口，輪船始終以勻速直線前進(jìn)．
可知BC=4BE，
設(shè)CD=x海里，則BC=4x海里，
由已知，得∠CAD=30°，∠DAB=150°，
由正弦定理得

DB

sin∠DAB

=

AD

sinB

，即sinB=

ADsin∠DAB

DB

=

5× 1 2

5x

=

1

2x

，
在△ABC中，由正弦定理，得

4x

sin120°

=

AC

1 2x

，
∴AC=

4 3

3

，
在△ACD中，由余弦定理，得CD²=AC²+AD²-2AC•AD•cos30°=

16

3

+25-2×

4 3

3

×5×

3

2

=

31

3

，即CD=

93

3

，
∴船速V=

S

t

=

CD

1 3

=

93 3

1 3

=

93

（海里/小時(shí)）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．