Question

（1）已知k，n∈N^*且 k≤n，求證：k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

．
（2）已知數列{a_n}滿足an=(n+2)•2n-1-1（n∈N^*），是否存在等差數列{b_n}，使 an=

n

k=1

bk

C

k n

對一切n∈N^*均成立？若存在，求出數列{b_n}的通項公式b_n；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用組合數公式，即可證明結論；
（2）利用二項展開式，結合（1）的結論，即可求出數列{b_n}的通項公式b_n．

解答： （1）證明：kC_n^k=k•

n！

k！(n-k)！

=

n•(n-1)！

(k-1)！[(n-1)-(k-1)]！

=n•C_n-1^k-1．--（5分）
（2）解：a_n=（n+2）（1+1）^n-1-1=(n+2)(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)-1
=n(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)+2(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)-1
=(n

C

0 n-1

+n

C

1 n-1

+n

C

2 n-1

+…+n

C

n-1 n-1

)+2ⁿ-1
∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，
∴(n

C

0 n-1

+n

C

1 n-1

+n

C

2 n-1

+…+n

C

n-1 n-1

)=1•C_n¹+2•C_n²+3•C_n³+…+n•C_nⁿ．
又2n-1=(1+1)n-1=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

-1=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

故a_n=(n

C

0 n-1

+n

C

1 n-1

+n

C

2 n-1

+…+n

C

n-1 n-1

)+2ⁿ-1
=（1•C_n¹+2•C_n²+3•C_n³+…+n•C_nⁿ）+（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）
=2•C_n¹+3•C_n²+4•C_n³+…+（n+1）•C_nⁿ
即2•C_n¹+3•C_n²+4•C_n³+…+（n+1）•C_nⁿ=b₁•C_n¹+b₂•C_n²+…+b_n•C_nⁿ，
∴b_n=n+1，∴b_n-1=n，b_n-b_n-1=1與n無關．
∴存在等差數列{b_n}，且通項公式為b_n=n+1-----（14分）

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、數列求和；考查推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想．