Question

已知雙曲線的焦點在x軸上，一個焦點為（-

3

，0），一條漸近線為y=

2

x．
（1）求雙曲線的方程
（2）過點P（1，1）能否作直線l與雙曲線交于A，B兩點，且P線段AB的中點，若能，求出直線l的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=

2

x，則可設雙曲線的方程為x2-

y2

2

=λ，然后根據c=

3

，求出λ的值即可；
（2）先假設存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在兩張千克設出直線l的方程，當k存在時，結合雙曲線的方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則根據△＞0及其P是線段AB的中點，找出矛盾，然后判斷當k不存在時，直線經過點P但不滿足條件，綜上，符合條件的直線l不存在．

解答： 解：（1）根據題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=

2

x，
則可設雙曲線的方程為為x2-

y2

2

=λ，λ＞0，
又因為雙曲線的一個焦點為（-

3

，0），c=

3

，
則雙曲線的方程可變形為

x2

λ

-

y2

2λ

=1，
又由c=

3

，則3λ=3，解得λ=1；
則此雙曲線的方程是：x2-

y2

2

=1．
（2）設過點P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
①當k存在時，有y=k（x-1）+1，x2-

y2

2

=1，
可得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    
當直線與雙曲線相交于兩個不同點，可得
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，
又方程（1）的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

，
又∵P（1，1）是線段AB的中點，
∴

x1+x2

2

=1，即

k-k2

2-k2

=1，解得k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當k=2時，方程（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 無實數解
故過點P（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且P為線段AB中點的直線不存在．
②當x=1時，直線經過點P但不滿足條件，
綜上所述，符合條件的直線l不存在．

點評：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系的應用，考查雙曲線的性質的運用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．