Question

已知函數f（x）=（x-1）²，數列{a_n}是各項均不為0的等差數列，且（a_n+1，S_2n-1）在函數f（x）的圖象上，數列{b_n}滿足：b_n=（

3

4

）^n-1．
（1）求a_n．
（2）若數列{C_n}滿足：C_n=

an

4n-1bn

，令：T_n=C₁+C₂+…+C_n，求使T_n＜λ（n∈N₊）成立的λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列與函數的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由題意點（a_n+1，S_2n-1）在函數f（x）的圖象上，所以a_n²=S_2n-1，再令n=1，2求得首項和公差，從而得出通項公式a_n．
（2）用錯位相減法求出T_n的值，即可求使T_n＜λ（n∈N₊）成立的λ的取值范圍．

解答： 解：（1）因為點（a_n+1，S_2n-1）在函數f（x）的圖象上，所以a_n²=S_2n-1，
令n=1，2得

a 2 1 =S1 a 2 2 =S3

，即

a 2 1 =a1…① a 2 2 =3a1+3d…②

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1；
（2）由條件可得：C_n=

an

4n-1bn

=

2n-1

3n-1

由T_n=C₁+C₂+…+C_n=1+

1

30

+3•

1

3

+…+

2n-1

3n-1

①
∴

1

3

T_n=1•

1

3

+…++

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

②
①-②得

2

3

T_n=2-

2n+2

3n

∴T_n=3-

n+1

3n-1

＜3，
∵T_n＜λ（n∈N₊）成立，
∴λ∈[3，+∞）．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式，數列的求和，用錯位相減法進行數列求和，屬于中檔題．