Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在區間上的最大值與最小值；

（2）若在上存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】試題分析：（1）由得增區間， 得減區間，進而得，比較端點處函數值可得；（2）只需要函數在上的最小值小于零，利用導數研究的單調性，討論三種情況，分別求得的最小值，進而分別求得的取值范圍，求并集即可.

試題解析：（1）當時， ，

，

令，得，

當變化時， ， 的變化情況如下表：

		1
		0
		極小值

因為， ，

，

所以在區間上的最大值與最小值分別為：

， ．

（2）設．若在上存在，使得，即成立，則只需要函數在上的最小值小于零．

又 ，

令，得（舍去）或．

①當，即時， 在上單調遞減，

故在上的最小值為，由，可得．

因為，所以．

②當，即時， 在上單調遞增，

故在上的最小值為，由，

可得（滿足）．

③當，即時， 在上單調遞減，在上單調遞增，故在上的最小值為．

因為，所以，

所以，即，不滿足題意，舍去．

綜上可得或，

所以實數的取值范圍為．