Question

【題目】已知圓，直線過點(diǎn)．

（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；

（2）若直線與圓相切，求直線的方程；

（3）若直線與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時(shí)

直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）， 2；（2）或；（3） 2，，或．

【解析】試題分析：

(1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心的圓心坐標(biāo)為，半徑為2

(2)分類討論直線的斜率是否存在可得直線的方程是或；

(3)由題意得到△ABC的面積函數(shù)，由均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值為2，此時(shí)直線的方程是，或．

試題解析：

（1）圓心的圓心坐標(biāo)為，半徑為2；

（2）①若直線的斜率不存在，則直線：，符合題意；

②若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，

由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，

即，解得，

所求直線的方程是或；

（3）方法1：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為，

則圓心到直的距離，

又∵三角形CPQ面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，三角形CPQ的面積的最大值為2，

由，有，或，

此時(shí)直線方程為，或．

方法2：

，

當(dāng)時(shí)，取最大值2，

此時(shí)點(diǎn)到的距離為，

設(shè)：，

由，解得或，

故所求直線的方程為或.