【題目】如圖幾何體
是四棱錐，
為正三角形，
，
，
，且
．
（1）求證：平面
平面
；
（2）
是棱
的中點，求證：
平面
；
（3）求二面角
的平面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）
．
【解析】
試題分析：（1）由面面垂直的判定定理；（2）由線線平行得到線面平行；（3）建立空間直角坐標系, 分別算出平面
和平面
的法向量, 用空間向量數量積推論算出二面角的余弦值．
試題解析：（1）證明：∵
為正三角形，
，
，
故連接
交
于
點，則
，
又∵
，
，故
面
，∴平面
平面．
（2）證明：取
的中點
，連接
，則
，且
平面
，∴
平面；
而
，
，∴
，且
平面，∴
平面．
綜上所述，平面
平面，∴
平面
（3）解：由（1）知，且
，
，連接
，則
，故
；
又∵是的中點，故
，
故如圖建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
，
．
設平面的法向量為
，則由
得
．
，
．
同理得平面的法向量
．
故二面角
的平面角的余弦值為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為方便市民休閑觀光，市政府計劃在半徑為200米，圓心角為
的扇形廣場內（如圖所示），沿
邊界修建觀光道路，其中
分別在線段
上，且兩點間距離為定長
米.
（1）當
時，求觀光道
段的長度；
（2）為提高觀光效果，應盡量增加觀光道路總長度，試確定圖中兩點的位置，使觀光道路總長度達到最長？并求出總長度的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，側面PAD⊥底面ABCD，若點E，F分別是PC，BD的中點。
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PAD⊥平面PCD
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】求適合下列條件的直線方程：
(1)經過點P(3,2)且在兩坐標軸上的截距相等；
(2)經過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某海域有
兩個島嶼，
島在
島正東4海里處，經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線是曲線
，曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發出過魚群。以所在直線為
軸，
的垂直平分線為
軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線的標準方程；
（2）某日，研究人員在兩島同時用聲納探測儀發出不同頻率的探測信號（傳播速度相同），兩島收到魚群在
處反射信號的時間比為
，問你能否確定處的位置（即點的坐標）？
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