Question

如圖，半徑為30cm的

1

4

圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設OB與矩形材料的邊OA的夾角為θ，圓柱的體積為Vcm³；
（1）求V關于θ的函數關系式；
（2）求圓柱形罐子體積V的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,函數解析式的求解及常用方法,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）求出圓柱底面半徑，再求體積，即可求V關于θ的函數關系式；
（2）換元，利用基本不等式，即可求圓柱形罐子體積V的最大值．

解答： 解：（1）在Rt△OAB中，OA=30cosθ，AB=30sinθ
設圓柱底面半徑為r，則30cosθ=2πr
即4π²r²=900cos²θ，
∴V=πr²•AB=

6750

π

cos²θsinθ．其中0＜θ＜90°．
（2）令sinθ=t（0＜t＜1），則cos²θsinθ=t（1-t²）
∵t²（1-t²）²=

1

2

×2t²（1-t²）（1-t²）≤

1

2

×(

2

3

)3
當且僅當2t²=1-t²，即t=

3

3

時，圓柱形罐子體積V的最大值

1500 3

π

．

點評：熟練掌握圓柱的體積計算公式、利用基本不等式求最值等是解題的關鍵．