Question

（理科）已知函數f（x）=e^x，g（x）=kx（k∈R）
（Ⅰ）若k=e²，試確定函數f（x）-g（x）的單調區間；
（Ⅱ）若k＞0，對于任意的x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，只要解導數的不等式即可，根據導數與0的關系判斷函數的單調性；
（Ⅱ）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，只需轉化為f（x）＞0對任意x≥0成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）當k=e²時，設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-xe²，
∴h'（x）=e^x-e²，
令h'（x）=0，則x=2
當x∈（-∞，2）時，h'（x）＞0，則函數h（x）是單調增函數；
當x∈（2，+∞）時，h'（x）＜0，則函數h（x）是單調減函數；
（Ⅱ）設w（x）=f（|x|）-g（|x|）=e^|x|-|x|k，
由于函數w（x）是偶函數，那么要使f（|x|）＞g（|x|），
只需要w（x）＞0在x＞0時成立即可；
當x＞0時，e^x＞1，若0＜k≤1，那么w'（x）=e^x-k＞0，函數w（x）單調遞增，w（x）＞w（0）=1＞0，所以0＜k≤1…①
當x＞0時，令w'（x）=e^x-k=0，則x=lnk（k=e^x＞1）列表

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
w'（x）	-	0	+
w（x）	減函數	最小值	增函數

則w（x）_min=w（lnk）=k-klnk，解k-klnk＞0，則k＜e，結合式得1＜k＜e…②
綜上所述，當0＜k＜e時，f（|x|）＞g（|x|）恒成立．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數的應用，考查學生的運算能力．