Question

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．點P、H分別是線段VC、AD的中點．
（Ⅰ）求證：AV∥平面PBD；   
（Ⅱ）求證：VH⊥面ABCD
（Ⅲ）求三棱錐C-PBD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結AC與BD交于點O，連結OP，可得OP是△VAC的中位線，再根據線和平面平行的判定定理證得 VA∥平面PBD．
（Ⅱ）利用VH⊥AD，面VAD⊥面ABCD，即可證明VH⊥面ABCD；
（Ⅲ）利用等體積轉換，即可求三棱錐C-PBD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連結AC與BD交于點O，連結OP  …（2分）
因為ABCD是正方形，所以OA=OC，
又因為PV=PC，
所以OP∥VA…（4分）
又因為PO?面PBD，所以VA∥平面PBD…（5分）
（II）證明：在平面VCD內，連接VH，
因為△VAD為正三角形，所以VH⊥AD，
因為面VAD⊥面ABCD，所以VH⊥面ABCD…（9分）
（Ⅲ）解：由題意，VC-PBD=VP-CBD=

1

2

VV-CBD=

1

2

VV-ABD=

1

2

•

1

3

S△ABD•VH
=

1

2

×

1

3

×

1

2

×22×(

3

2

×2)=

3

3

…（14分）

點評：本題考查線面垂直、線面平行的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關鍵是熟練掌握相關的定理及公式．