Question

設函數f（x）=mlnx，h（x）=x-a．
（Ⅰ）當a=0時，f（x）≤h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=2時，若函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當n≥2，n∈N^*時，log₂e+log₃e+log₄e+…+log_ne＞

3n2-n-2

2n(n+1)

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,數列的求和

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用參數分離法將f（x）≤h（x）在（1，+∞）上恒成立，進行轉化，即可求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）利用導數求出函數k（x）=f（x）-h（x）的最值，結合在[1，3]上恰有兩個不同零點，建立條件關系，即可求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）利用對數的運算法則，利用放縮法證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）由已知m≤

x

lnx

，令φ(x)=

x

lnx

，則問題等價于m≤φ（x）_min
因為φ′(x)=

lnx-1

ln2x

，當x∈（1，e）時，φ′（x）＜0；當x∈（e，+∞）時，φ′（x）＞0
故φ（x）在x=e處取得極小值，也是最小值，即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．
（Ⅱ）函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點等價于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有兩個相異實根．
令g（x）=x-2lnx，則g′(x)=1-

2

x

當x∈（1，2）時，g'（x）＜0；當x∈（2，3）時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，2]上是單調遞減函數，在[2，3]上是單調遞增函數．
故g（x）_min=2-2ln2，又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，
∵g（1）＞g（3），∴g（2）＜a≤g（3），
故實數a的取值范圍（2-2ln2，3-2ln3]．
（Ⅲ）∵logxe=

1

lnx

，故在k（x）=f（x）-h（x）中，
令m=1，a=0，得F（x）=lnx-xF(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
故F（x）=lnx-x在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
所以F（x）≤F（1）=-1，即lnx≤x-1
法一：∴

1

lnn

＞

1

n-1

=

2

2n-2

＞

2

(n-1)(n+1)

=

1

n-1

-

1

n+1

(n≥2)，
∴log2e+log3e+log4e+…+logne=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

；
當n≥2，n∈N^*時，log2e+log3e+log4e+…+logne＞

3n2-n-2

2n(n+1)

．
法二：令x=n²（n≥2），則lnn2＜n2-1⇒

1

lnn2

＞

1

n2-1

⇒

1

2lnn

＞

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)
故

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+1

 (n≥2)（余下解法同解法一）．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，以及導數函數不等式的綜合，考查學生的運算能力，綜合性假期，有一定的難度．