Question

已知函數(shù)f（x）=ax+blnx+c（a，b，c是常數(shù)）在x=e處的切線方程為（e-1）x+ey-e=0，且f（1）=0．
（Ⅰ）求常數(shù)f（x）的值；
（Ⅱ）若函數(shù)（0，+∞）（f′（x）=a+

b

x

）在區(qū)間f（x）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)x=e的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f′(x)=a+

b

x

，且f′(e)=-

e-1

e

，且f（e）=2-e，即a+

b

e

=-

e-1

e

，且ae+b+c=2-e，又f（1）=a+c=0，從而解出a，b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0）因此，g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m（x＞0）得g′(x)=2x-m+

m

x

=

1

x

(2x2-mx+m)(x＞0)，令d（x）=2x²-mx+m（x＞0），討論（ⅰ）當(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有一個極值時，（ⅱ）當(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有兩個極值時，從而綜合得出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=a+

b

x

，
因為f（x）在x=e處的切線方程為（e-1）x+ey-e=0，
所以f′(e)=-

e-1

e

，且f（e）=2-e，
即a+

b

e

=-

e-1

e

，且ae+b+c=2-e，
又f（1）=a+c=0，
解得a=-1，b=1，c=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0）
因此，g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m（x＞0）
∴g′(x)=2x-m+

m

x

=

1

x

(2x2-mx+m)(x＞0)，
令d（x）=2x²-mx+m（x＞0）．
（ⅰ）當(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有一個極值時，
g′（x）=0在（1，3）內(nèi)有且僅有一個根，
即d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）內(nèi)有且僅有一個根，
又因為d（1）=2＞0，當(dāng)d（3）=0，
即m=9時，d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）內(nèi)有且僅有一個根x=

3

2

，
當(dāng)d（3）≠0時，應(yīng)有d（3）＜0，即2×3²-3m+m＜0，
解得m＞9，
所以有m≥9．
（ⅱ）當(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有兩個極值時，
g′（x）=0在（1，3）內(nèi)有兩個根，
即二次函數(shù)d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）內(nèi)有兩個不等根，
所以

△=m2-4×2×m＞0\hfill d(1)=2-m+m＞0\hfill d(3)=2×32-3m+m＞0\hfill 1＜ m 4 ＜3\hfill

，
解得8＜m＜9．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是（8，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，參數(shù)的范圍，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察了分類討論思想，是一道綜合題．