Question

如圖，三角形ABC中AB=3，AC=6，∠BAC=60°，D為BC中點．
（1）試用向量

AB

和

AC

表示

BC

；
（2）求BC的長；
（3）求中線AD的長．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）結合圖形，根據題意得出

BC

；
（2）求出|

BC

|2，即得|

BC

|的長；
（3）由

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

），求出|

AD

|2，即得|

AD

|的長．

解答： 解：（1）如圖所示，根據向量的加法法則，得；

BC

=

BA

+

AC

=-

AB

+

AC

；…（2分）
（2）∵|

BC

|2=

BC

2=(-

AB

+

AC

)2
=

AB

2-2

AB

•

AC

+

AC

2
=3²-2×3×6×cos60°+6²
=27，…（5分）
∴|

BC

|=3

3

；…（6分）
（3）∵

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

），…（8分）
∴|

AD

|2=

1

4

(

AB

+

AC

)2=

1

4

（

AB

2+2

AB

•

AC

+

AC

2）
=

1

4

（3²+2×3×6×cos60°+6²）
=

63

4

；…（9分）
∴|

AD

|=

3 7

2

．…（10分）

點評：本題考查了平面向量的應用問題，解題時應結合圖形，利用向量的運算法則，求向量的模長，是基礎題．