Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ABB₁A₁是菱形，四邊形CBB₁C₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°，D、E分別是AC、A₁B的中點．
（Ⅰ）求證：平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：DE∥平面CBB₁C₁；
（Ⅲ）求四面體A₁ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知中四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，我們易由線面垂直的判定定理得到CB⊥平面ABB₁A₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）證明平面DEO∥平面CBB₁C₁，可得DE∥平面CBB₁C₁；
（Ⅲ）證明A₁O⊥平面ABC，可求四面體A₁ABC的體積．

解答： （Ⅰ證明：∵四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC
∴AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B
∴CB⊥平面ABB₁A₁，
∵CB?平面CA₁B
∴平面CA₁B⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）證明：取AB的中點O，連接OD，OE，則
∵D、E分別是AC、A₁B的中點，
∴OD∥BC，OE∥AA₁∥BB₁，
∵OD∩OE=O，BC∩BB₁=B，
∴平面DEO∥平面CBB₁C₁，
∵DE?平面DEO，
∴DE∥平面CBB₁C₁；
（Ⅲ）連接A₁O，則
∵四邊形ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°，
∴A₁O⊥AB，
∵BC⊥平面ABB₁A₁，
∴BC⊥A₁O，
∵AB∩BC=B，
∴A₁O⊥平面ABC，
∴VA1ABC=

1

3

×(

1

2

×3×4)×2

3

=4

3

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中等體積法，是轉化思想在解答點到平面距離問題中最常用的方法．