Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠CAD=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=

2

，F(xiàn)是BC的中點．
（1）求證：DA⊥平面PAC；
（2）若以A為坐標原點，射線AC、AD、AP分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系，已經(jīng)計算得

n

=（1，1，1）是平面PCD的法向量，求平面PAF與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DA⊥平面PAC；
（2）求出平面PAF的法向量，利用空間向量法即可求出二面角的大小．

解答： 解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，
∴DA⊥平面PAC．
（2）在空間直角坐標系內(nèi)，A（0，0，0），C（1，0，0），B（1，-1，0），D（0，1，0），F(xiàn)（1，-

1

2

，0），P（0，0，1），
則

AP

=(0，0，1)，

AF

=（1，-

1

2

，0），
設(shè)平面PAF一個法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • AP =z=0 x- 1 2 y=0

，令y=2，則x=1，即

m

=（1，2，0），
又平面PCD法向量為

n

=（1，1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1+2

3 • 5

=

15

5

，
∴所求二面角的余弦值為

15

5

．

點評：本題主要考查線面垂直的判斷以及二面角的計算，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．