Question

設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值點；
（Ⅱ）已知當x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，令導數大于0，解得函數的增區間，令導數小于0，解得函數的減區間，令導數等于0，解得函數的極值點，再根據極值點兩側的導數的正負判斷是極大值還是極小值．
（Ⅱ）因為x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可轉化為k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，再化簡k≤

x3-6x+5

x-1

，求最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）對函數f（x）=x³-6x+5求導，得函數f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

，
f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-，

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），單調遞減區間是（-

2

，

2

）
x=-

2

是極大值點；x=

2

是極小值點；
（Ⅱ）x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，則g（x）=x²+x-5，
∴g（x）的最小值為-3，
∴k≤-3．

點評：本題主要考查了利用導數求函數單調區間，極值，以及函數的極值的應用，綜合性強．