Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=1，

2Sn

n

=a_n+1-

1

3

n²-n-

2

3

，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求證：數列{

an

n

}是等差數列；
（3）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據數列的遞推關系即可求a₂的值；
（2）根據等差數列的定義，構造數列，即可證明數列{

an

n

}是等差數列；
（3）根據數列{

an

n

}是等差數列，即可求數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．
∴當n=1時，2a1=2S1=a2-

1

3

-1-

2

3

=a2-2，
又a₁=1，∴a₂=4．
（2）解：∵

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．∴2Sn=nan+1-

1

3

n3-n2-

2

3

n=nan+1-

n(n+1)(n+2)

3

①，
∴當n≥2時，2Sn-1=(n-1)an-

(n-1)n(n+1)

3

②，
由①-②，得 2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1
∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，∵

a2

2

-

a1

1

=1，
∴數列{

an

n

}是以首項為

a1

1

=1，公差為1的等差數列．
（3）∵數列{

an

n

}是以首項為

a1

1

=1，公差為1的等差數列．
∴

an

n

=1+1×(n-1)=n，
∴an=n2，
即數列{a_n}的通項公式an=n2，n∈N*．

點評：本題主要考查遞推數列的應用，以及等差數列的通項公式，根據等差數列的定義是解決本題的關鍵．