Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是邊長為2的正三角形．

（Ⅰ）當AD為多長時，？

（Ⅱ）當二面角B﹣AC﹣D為時，求AD的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取BD中點O，連接AO，CO，利用等腰直角三角形與正三角形的性質可得：BD⊥平面AOC，即可得出．

（Ⅱ）如圖所示，取BC的中點F，連接DF．利用等腰直角三角形與正三角形的性質可得BC⊥平面ADF．經過D點作DE⊥AF，垂足為E，可得DE⊥平面ABC．假設作EC′⊥AC，垂足為C′．設DE＝x，EF＝y．可得x2+y2＝DF2＝3，x＝，解得x＝，y＝1．可得點C′與點C重合．可得：∠DCE為二面角B﹣AC﹣D的平面角，即可得出.

（Ⅰ）取BD中點O，連接AO，CO，

∵△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，

△BCD是邊長為2的正三角形．

∴BC=CD=BD=2，AB=AC=，

∴CO⊥BD，

當AC⊥BD時，由，得平面AOC，

∵平面AOC，∴，

∴AD=AB=，

∴當AD為時，．

（Ⅱ）如圖所示，取BC的中點F，連接DF．

∵△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，

△BCD是邊長為2的正三角形．

∴．又．．

∴平面ADF．

經過D點作，垂足為E，則DE⊥平面ABC．

假設作EC′⊥AC，垂足為C′．

設DE=x，EF=y．

則，，

解得．

∴，因此點C′與點C重合．

可得為二面角B﹣AC﹣D的平面角，所以，

∴．