Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+x﹣lnx，（a＞0）． （Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設f（x）極值點為x0 ， 若存在x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 使f（x1）=f（x2），求證：x1+x2＞2x0 ．

Answer 1

【答案】解：（ I）f（x）定義域為（0，+∞）， f′（x）= ，
∵a＞0，∴方程f′（x）=0有兩個實根x1= ＜0，x2= ＞0，
當x∈（0，x2）時，f′（x）＜0，當x∈（x2 ， +∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調增區間為：（ ，+∞）減區間為（0， ）
（ II）要證x1+x2＞2x0 ， 需證 ．
由（ I）知， ，f′（x）=2ax+1﹣ 在（0，+∞）上單調遞增，
∴只需證f′（ ）>0
不妨設x2＞x1＞0
由已知得 = ，=[a（x2+x1）+1]（x2﹣x1）﹣（lnx2﹣lnx1）=0
∴
∵
∴
法1： =
令
∴ ，∴g（x）在（0，x2）單調遞減，
∴g（x1）＞g（x2）=0，
又 ，∴ 成立．∴結論成立．
法2：f′（ ）= ．
設 ， ．∵ ，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數，∴g（t）＞g（1）=0，
即 ，
又∵ ，∴f′（ ）＞0成立．
∴結論成立
【解析】（Ⅰ）先求出函數的定義域，求出函數f（x）的導函數，在定義域下令導函數大于0得到函數的遞增區間．即可求出單調減區間．（Ⅱ）要證x1+x2＞2x0 ， 需證 ．由（ I）知， ，f′（x）=2ax+1﹣ 在（0，+∞）上單調遞增，只需證f′（ ）>0．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．