Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣kx且f（x）在區間（2，+∞）上為增函數．
（1）求k的取值范圍；
（2）若函數f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意f′（x）=x2﹣（k+1）x，

因為f（x）在區間（2，+∞）上為增函數，

所以f′（x）=x2﹣（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，

又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，

當k=1時，f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上單增，符合題意．

所以k的取值范圍為k≤1．

（2）解：設 ，

h′（x）=x2﹣（k+1）x+k=（x﹣k）（x﹣1），

令h′（x）=0得x=k或x=1，由（1）知k≤1，

①當k=1時，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上遞增，顯然不合題意；

②當k＜1時，h（x），h′（x）隨x的變化情況如下表：

由于 ＞0，欲使f（x）與g（x）圖象有三個不同的交點，

即方程f（x）=g（x），也即h（x）=0有三個不同的實根．

故需 即（k﹣1）（k2﹣2k﹣2）＜0，

所以 ，解得 ．

綜上，所求k的范圍為

【解析】（1）求出f（x）的導函數，因為f（x）在（2，+∞）上為增函數，所以得到導函數在（2，+∞）上恒大于等于0，列出k與x的不等式，由x的范圍即可求出k的取值范圍；（2）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中確定出h（x）的解析式，求出h（x）的導函數，令導函數等于0求出此時x的值，然后根據（1）求出的k的范圍，分區間討論導函數的正負進而得到函數的單調區間，根據函數的增減性求出函數的極小值和極大值，判斷得到極小值大于0，所以要使函數f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點，即要極大值也要大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到實數k的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．