Question

【題目】選修4-1：幾何證明選講

如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點，圓心O在∠PAC的內部，點M是BC的中點．

（I）證明：A，P，O，M四點共圓；

（II）求∠OAM＋∠APM的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）90°.

【解析】試題分析：（1）證明四點共圓，一般利用對角互補進行證明：根據相切及垂徑定理得OP⊥AP及OM⊥BC，從而得∠OPA＋∠OMA＝180°. （2）根據四點共圓得同弦所對角相等：∠OAM＝∠OPM，因此

∠OPM＋∠APM＝90°，

試題解析：（1）證明 連接OP，OM，因為AP與⊙O相切于點P，所以OP⊥AP.

因為M是⊙O的弦BC的中點，所以OM⊥BC，

于是∠OPA＋∠OMA＝180°.

由圓心O在∠PAC的內部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A、P、O、M四點共圓.

（2）解 由（1）得A、P、O、M四點共圓，

所以∠OAM＝∠OPM，

由（1）得OP⊥AP，因為圓心O在∠PAC的內部，

所以∠OPM＋∠APM＝90°，

所以∠OAM＋∠APM＝90°.