Question

【題目】已知定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當x∈（1，2]時，f（x）=2﹣x． 給出如下結論：
①對任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
正確的有（ ）
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①f（2m）=f（22m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，正確； ②取x∈（2m ， 2m+1），
則 ∈（1，2]；f（ ）=2﹣ ，
f（ ）=…=2mf（ ）=2m+1﹣x
從而f（x）∈[0，+∞），正確
③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假設存在n使f（2n+1）=9，
即存在x1 ， x2 ， 2x1﹣2x2=10，
又∵2x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在滿足條件的x1 ， x2 ， 所以該命題錯誤；
綜合有正確的序號是①②．
故選：B．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．